Curvas e Superfícies

Ano
2
Ano lectivo
2018-2019
Código
01001242
Área Científica
Matemática
Língua de Ensino
Português
Modo de Ensino
Presencial
Duração
Semestral
Créditos ECTS
6.0
Tipo
Obrigatória
Nível
1º Ciclo - Licenciatura

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Infinitesimal III,  Álgebra Linear e Geometria Analítica II.

Métodos de Ensino

Aulas de carácter misto, onde se ensinam os conceitos fundamentais praticando sobre casos concretos, ilustrados com os aspetos históricos motivadores da sua génese. Dedica-se um espaço substancial à resolução de problemas por parte dos alunos, onde se encoraja o trabalho individual e a discussão em grupo, bem como a exploração dos recursos tecnológicos existentes (software, internet) para visualização de curvas e superfícies e suas aplicações.

Resultados de Aprendizagem

Conhecimento dos aspetos teóricos e práticos fundamentais (incluindo demonstração de teoremas, resolução de problemas e aplicações relevantes) em tópicos da geometria diferencial clássica de curvas e superfícies no espaço tridimensional.

As principais competências a desenvolver são: capacidade de formular e resolver problemas; conceção ou utilização de modelos matemáticos para situações reais; capacidade de cálculo; capacidade de aprendizagem autónoma; argumentação lógica; espírito crítico; expressões escrita e oral rigorosas e claras; capacidade de comunicação; uso da internet como meio de comunicação e fonte de informação.

Estágio(s)

Não

Programa

1. Curvas em R3.  Curvas regulares. Comprimento de arco e parametrização por comprimento de arco. Curvatura e torção. Triedro de Frenet-Serret. Fórmulas de Frenet-Serret. Curvas não parametrizadas por comprimento de arco: curvatura e torção, triedro de Frenet-Serret e fórmulas de Frenet-Serret. Propriedades das curvas planas. Teorema fundamental de existência e unicidade para curvas. Exemplos e aplicações.

2. Superfícies em R3. Superfícies regulares. Classes especiais de superfícies: quádricas, superfícies de revolução, cilindros e cones generalizados, superfícies regradas. Espaço vectorial tangente e plano tangente. Normais. Orientabilidade. Primeira forma fundamental. Isometrias, funções equiareais e conformais. Aplicação ao cálculo de áreas, comprimentos e ângulos. Segunda forma fundamental. Curvaturas principais, gaussiana e média de uma superfície num ponto. Pontos elíticos, hiperbólicos, parabólicos e planares.

Docente(s) responsável(eis)

António Manuel Freitas Gomes Cunha Salgueiro

Métodos de Avaliação

Avaliação
Exame (100%) ou Frequência (100%): 100.0%

Bibliografia

A. Pressley, Elementary differential geometry, Springer, 2001

 

B. O'Neill, Elementary differential geometry, 2nd ed., Academic Press, 1997

M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976