Análise Matemática III

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Matemática I e II e Álgebra Linear e Geometria Analítica.

Métodos de Ensino

As aulas são de tipo teórico e teórico-prático. Os métodos de ensino serão predominantemente expositivos nas componentes teóricas. Nas componentes práticas serão resolvidos problemas sob a orientação do professor. Na exposição far-se-á prevalecer uma forte interação entre os conceitos e a sua aplicação concreta dando um papel central à visualização e à análise de situações particulares antes de proceder a uma abstração progressiva das noções a introduzir. Ao longo do semestre será disponibilizado apoio tutorial à resolução das tarefas propostas.

Resultados de Aprendizagem

O estudante aprovado nesta unidade curricular deverá ser capaz de:

i)  classificar as singularidades de um quociente de funções analíticas;

ii) calcular a série de Laurent  de uma função numa região anelar;

iii) calcular o resíduo de uma função analítica numa região anelar;

iv) calcular o integral de uma função ao longo de um caminho fechado usando o Teorema dos resíduos;

v) calcular a transformada-Z de uma fração racional usando uma decomposição em elementos simples;

vi) usar a transformada-Z para resolver equações de diferenças;

vii) calcular a transformada de Fourier e a sua inversa;

viii) calcular a transformada de Laplace e a sua inversa;

ix) resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace.

Estágio(s)

Não

Programa

I.   Funções complexas

I.1 Álgebra e topologia do plano complexo

I.2 Funções elementares

I.3 Derivação

I.4 Séries de potências e séries de Laurent

I.5 Singularidades, zeros e resíduos

I.6 Integração

 

II.   Transformada-Z e aplicações

II.1 Transformada-Z (definições e propriedades)

II.2 Transformada-Z inversa

II.3 Aplicação à resolução de equações de diferenças

 

III.   Transformada de Fourier e aplicações

III.1 Séries de Fourier (revisão) e sua versão complexa.

III.2 Transformada de Fourier e sua inversa

III.3 Transformadas de Fourier generalizada (das funções de Heaviside e Delta de Dirac)

III.4 Aplicações da transformada de Fourier: Teorema da Amostragem

 

IV.   Transformada de Laplace e aplicações

IV.1 Transformada de Laplace (definição, existência e propriedades)

IV.2 Transformada de Laplace inversa

IV.3 Transformada de Laplace generalizada (da função Delta de Dirac)

IV.5 Aplicações da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais lineares ordinárias.

Docente(s) responsável(eis)

Júlio Severino das Neves

Métodos de Avaliação

Avaliação continua
2 ou mais frequências : 100.0%

Avaliação final
Exame: 100.0%

Bibliografia

[1] Glyn James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Prentice-Hall, 3ª edição, (2004).

[2] Ruel Vance Churchill, Complex variables and applications, McGraw-Hill, 4ª edição, (1986).

[3] Gueorgui V. Smirnov, Análise Complexa e Aplicações, Escolar Editora (2003).

[4] Natália Bebiano da Providência, Análise Complexa com aplicações e laboratórios de Mathematica, Gradiva, Colecção Trajectos Ciência, 2ª edição (2012).

[5] Júlio Severino das Neves, Apontamentos de Análise Matemática III, (distribuído online) (2018).