Análise Matemática III

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Matemática I e II e Álgebra Linear e Geometria Analítica.

Métodos de Ensino

As aulas são de tipo teórico e teórico-prático. Os métodos de ensino serão predominantemente expositivos nas componentes teóricas. Nas componentes práticas serão resolvidos problemas sob a orientação do professor. Na exposição far-se-á prevalecer uma forte interação entre os conceitos e a sua aplicação concreta dando um papel central à visualização e à análise de situações particulares antes de proceder a uma abstração progressiva das noções a introduzir. Ao longo do semestre será disponibilizado apoio tutorial à resolução das tarefas propostas.

Resultados de Aprendizagem

O estudante aprovado nesta unidade curricular deverá ser capaz de:

i)  classificar as singularidades de um quociente de funções analíticas;

ii) calcular a série de Laurent  de uma função numa região anelar;

iii) calcular o resíduo de uma função analítica numa região anelar;

iv) calcular o integral de uma função ao longo de um caminho fechado usando o Teorema dos resíduos;

v) calcular a transformada-Z de uma fração racional usando uma decomposição em elementos simples;

vi) usar a transformada-Z para resolver equações de diferenças;

vii) calcular a transformada de Fourier e a sua inversa;

viii) calcular a transformada de Laplace e a sua inversa;

ix) resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace.

Estágio(s)

Não

Programa

Funções complexas de variável complexa
Álgebra e topologia do plano complexo
Funções elementares
Derivação de funções complexas
Séries de potências e séries de Laurent
Singularidades, zeros e resíduos
Integração de funções complexas de variável complexa

Transformada-Z e aplicações
Transformada-Z (definições e propriedades)
Transformada-Z inversa
Aplicação à resolução de equações de diferenças

Transformada de Fourier e aplicações
Séries de Fourier (revisão) e sua versão complexa.
Transformada de Fourier e sua inversa
Transformadas de Fourier generalizada (das funções de Heaviside e Delta de Dirac)
Aplicações da transformada de Fourier: amostragem de sinais analógicos (teorema da amostragem)

Transformada de Laplace e aplicações
Transformada de Laplace (definição, existência e propriedades)
Transformada de Laplace inversa
Transformada de Laplace generalizada (da função Delta de Dirac)
Aplicações da transformada de Laplace à resolução de equações equações diferenciais lineares ordinárias.

Docente(s) responsável(eis)

Júlio Severino das Neves

Métodos de Avaliação

Avaliação
Frequência: 100.0%

Avaliação Final
Exame: 100.0%

Bibliografia

 

[1] Glyn James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Prentice-Hall, 3ª edição, (2004).

[2] Ruel Vance Churchill, Complex variables and applications, McGraw-Hill, 4ª edição, (1986).

[3] Gueorgui V. Smirnov, Análise Complexa e Aplicações, Escolar Editora (2003).

[4] Natália Bebiano da Providência, Análise Complexa com aplicações e laboratórios de Mathematica, Gradiva, Colecção Trajectos Ciência, 2ª edição (2012).

[5] Júlio Severino das Neves, Apontamentos de Análise Matemática III, (distribuído online) (2018).