Álgebra Linear Numérica e Cálculo Científico

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Matemática, Álgebra Linear, Programação básica

Métodos de Ensino

Métodos de ensino:
As aulas teórico-práticas são de consolidação de conceitos e de resolução de problemas, com a participação ativa dos alunos. Algumas dessas aulas são dadas no laboratório de cálculo com vista à resolução de problemas que envolvem programação algorítmica.

Resultados de Aprendizagem

Este curso pretende dar uma visão geral da álgebra linear numérica e do cálculo científico. O curso inclui o estudo das principais noções teóricas e algoritmos usados na aproximação de funções, no cálculo de integrais e na resolução de sistemas lineares, problemas de mínimos quadrados, problemas de valores próprios. Também serão consideradas as questão de estabilidade e precisão e abordados alguns problemas que surgem na computação de alto desempenho.
As principais competências a desenvolver são: capacidade de análise e síntese; competência em comunicação oral e escrita; competência para resolver problemas; competência em trabalho num contexto internacional; competência em aprendizagem autónoma; adaptabilidade a novas situações; criatividade; competência em investigar; espírito crítico.

Estágio(s)

Não

Programa

1. Introdução. Fundamentos da análise matricial e da computação científica. Normas. Classes de matrizes. Decomposição em valores singulares. O ambiente MATLAB.
2. Aproximação de funções e dados. Interpolação polinomial e trigonométrica e FFT. Aproximação por funções “spline”. O método dos mínimos quadrados.
3. Integração numérica. Fórmulas do ponto médio, trapézios e Simpson. Fórmulas interpolatórias.
4. Sistemas lineares. Complexidade. Factorizações LU e de Cholesky. Condicionamento e número de condição. Factorização QR. Condicionamento dos algoritmos dos mínimos quadrados. Factorizações incompletas e não negativas. Esparsidade e estrutura. Métodos interativos; Gauss-Seidel e SOR; gradientes conjugados. Precondicionamento.
5. Valores próprios e valores singulares. Quociente de Rayleigh. Algoritmo QR “shifts”. Algoritmos para decomposição em valores singulares.
6. Introdução à computação de alto desempenho.

Docente(s) responsável(eis)

Sílvia Alexandra Alves Barbeiro

Métodos de Avaliação

Avaliação
Resolução de problemas: 40.0%
Exame: 60.0%

Bibliografia

H. Pina, Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 1995.
R. Kress, Numerical Analysis, Springer, 1997.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics 2nd edition, Springer, 2007.
A. Quarteroni, F. Saleri, Cálculo científico com MATLAB e Octave, Springer, 2007.
L.N. Trefethen, D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
G.H. Golub, C.F. Van Loan, Matrix Computations 4th edition, John Hopkins University Press, 2013.