Equações com Derivadas Parciais

Conhecimentos de Base Recomendados

Topologia e Análise Linear; Análise Real e Funcional.

Métodos de Ensino

As aulas são de tipo teórico-prático, ou seja, de natureza essencialmente expositiva e acompanhadas de exemplos e exercícios que permitam compreender e aplicar os conhecimentos adquiridos.São focadas no ensino de processos de raciocínio, a partir dos quais o aluno aprenda a manipular os objetos que lhe são apresentados e a descobrir, por si próprio, como chegar a outros resultados, quer através da leitura autónoma, quer através da resolução de exercícios. Ao longo do semestre deverá ser disponibilizado aos alunos apoio tutorial à resolução das diversas tarefas propostas.

Resultados de Aprendizagem

A disciplina é uma introdução ao estudo das equações com derivadas parciais (EDPs) lineares. A primeira parte é dedicada a três EDPs clássicas: as equações de Laplace, do calor e das ondas. Estas equações, para as quais são deduzidas algumas soluções explícitas, são os protótipos, respetivamente, das equações lineares elípticas, parabólicas e hiperbólicas, analisadas na segunda parte do curso num quadro abstrato geral. São aí tratadas questões de existência, unicidade e regularidade de soluções fracas, usando essencialmente métodos funcionais e estimativas, introduzidos como motivação na primeira parte. Esta unidade curricular permite desenvolver as seguintes competências instrumentais: conhecimento de resultados matemáticos, capacidade de generalização e abstração, argumentação lógica, expressões escrita e oral rigorosas e claras, e capacidade de cálculo. A nível pessoal permite também desenvolver capacidades de aprendizagem autónoma e espírito crítico.

Estágio(s)

Não

Programa

As EDPs lineares clássicas - A equação de Laplace: solução fundamental; a equação de Poisson; fórmulas do valor médio; propriedades das funções harmónicas; a função de Green; métodos de energia. Equação do calor: solução fundamental; fórmula do valor médio e propriedades das soluções; métodos de energia. Equação das ondas: resolução usando médias esféricas; o problema não-homogéneo; métodos de energia. Teoria das EDPs lineares de segunda ordem - Espaços de Sobolev. Equações elípticas: existência de soluções fracas; regularidade; princípios do máximo. Equações parabólicas: existência de soluções fracas; regularidade; princípios do máximo. Equações hiperbólicas: existência de soluções fracas; regularidade; propagação das perturbações.

Docente(s) responsável(eis)

Stéphane Louis Clain

Métodos de Avaliação

Avaliação final
Exame: 100.0%

Avaliação continua
Inclui a realização de uma ou mais frequências ao longo do semestre (com um peso total de 75-100%) e a apresentação de trabalhos, podendo incluir demonstrações de resultados mais elaborados, ou a resolução de trabalhos de casa propostos ao longo do semestre (com peso não superior a 25%): 100.0%

Bibliografia

L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998.

H. Brézis, Analyse Fonctionnelle, Masson, 1983.

E. DiBenedetto, Partial Differential Equations, Birkhäuser, 1995.

Q. Han, A Basic Course in Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2011.