Teoria Ergódica

Conhecimentos de Base Recomendados

Conhecimentos avançados de topologia, variedades e análise. Competência, escrita e oral, em inglês.

Métodos de Ensino

As horas de contacto são teórico-práticas. Nelas é apresentado o conteúdo do programa, recorrendo-se frequentemente a exemplos para ilustrar os conceitos tratados, à resolução de exercícios e à discussão de problemas previamente indicados. É sugerida uma lista curta, mas adequada e completa, de obras para consulta, de que existem exemplares na biblioteca da FCUP.

Resultados de Aprendizagem

Pretende-se que os alunos contactem com os objectos, propriedades estatísticas, problemas e métodos de análise de sistemas dinâmicos que preservam uma medida de probabilidade.

Estágio(s)

Não

Programa

Convergência em L^p, em medida e q.t.p.; integração; Teoremas de Fatou, de Convergência Monótona e de Convergência Dominada; isomorfismo em medida. Órbita periódica, recorrente, não-errante, densa; conjugação, estabilidade. Medidas invariantes por uma dinâmica. Invariantes por isomorfismos. Existência de probabilidades invariantes por funções contínuas em espaços métricos compactos. Medidas ergódicas/mixing; tradução dinâmica e espectral de propriedades métricas. Exemplos: homeomorfismos de R; qx(mod 1); função de Gauss; shifts; potências z^n em S^1; rotações de S^1; aplicações lineares de R^n; difeomorfismos de Anosov; ferradura de Smale; triângulo pedal; mecanismos acoplados; cadeias de Markov; motores de pesquisa. Teoremas de Poincaré, de Birkhoff e de Kac. Aplicações: Teorema de Borel sobre números normais; Teoremas de recorrência múltipla; Teorema de van der Waerden. Decomposição ergódica. Entropia métrica e topológica. Princípio variacional e estados de equilíbrio.

Métodos de Avaliação

Avaliação
Exame: 40.0%
Trabalho de investigação: 60.0%

Bibliografia

P. Halmos, Measure theory, Springer New York, 1974.

P. Halmos, Lectures on Ergodic Theory, Chelsea New York, 1956.

R. Mané, Introdução à Teoria Ergódica, IMPA, 1983.

K.R. Parthasarathy, Probability Measures on Metric Spaces, Academic Press, 1967.

K. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge University Press, 1995.

P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory, Springer New York, 1982.