Equações com Derivadas Parciais

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Funcional.

Métodos de Ensino

Aulas essencialmente expositivas, acompanhadas de exemplos e exercícios que permitam compreender e aplicar os conhecimentos adquiridos. Deve haver momentos reservados à apresentação de exercícios mais elaborados ou construções mais detalhadas de exemplos concretos. As aulas devem ser focadas no ensino de processos de raciocínio, a partir dos quais o aluno aprenda a manipular os objectos que lhe são apresentados e a descobrir, por si próprio, como chegar a outros resultados. Ao longo do semestre deverá ser disponibilizado aos alunos apoio tutorial à resolução das diversas tarefas propostas..

Resultados de Aprendizagem

O curso é uma introdução ao estudo das equações com derivadas parciais (EDPs) usando métodos funcionais e de energia. Serão destacados os aspectos relativos à existência, unicidade e regularidade de soluções fracas de EDPs lineares elípticas e parabólicas. Serão também estudadas algumas EDPs não-lineares, usando diferentes abordagens, como métodos variacionais e de monotonia, teoremas do ponto fixo e escalonamento intrínseco.

Estágio(s)

Não

Programa

Revisões sobre espaços de Sobolev. Equações lineares elípticas de segunda ordem (existência de soluções fracas; regularidade no interior e na fronteira; princípios do máximo; desigualdade de Harnack; teoria de DeGiorgi-Nash-Moser). Equações lineares parabólicas de segunda ordem (existência via método de Galerkin; regularidade e princípios do máximo). Cálculo das Variações (equação de Euler-Lagrange; existência de minimizantes; regularidade; restrições unilaterais: inequações variações e problemas com fronteira livre). Técnicas não-variacionais (métodos de monotonia e do ponto fixo). EDPs degeneradas e singulares (a equação de p-Laplace; método da mudança intrínseca de escala; o Laplaciano infinito). 

Docente(s) responsável(eis)

José Miguel Dordio Martinho de Almeida Urbano

Métodos de Avaliação

Avaliação
Trabalho de síntese: 20.0%
Frequência: 30.0%
Exame: 50.0%

Bibliografia

H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Masson, 1983.

L.C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd edition, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, American Mathematical Society, 2010.

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P. Lindqvist, Notes on the p-Laplace equation, University of Jyvaskyla, 2005.

J.L. Lions, Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, 1969.

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