Categorias em Álgebra e Topologia
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2022-2023
03001299
Matemática
Inglês
Presencial
Semestral
9.0
Opcional
3º Ciclo - Doutoramento
Conhecimentos de Base Recomendados
Álgebra Linear, Álgebra e Topologia.
Métodos de Ensino
Os conceitos e resultados teóricos mais relevantes são apresentados com pormenor e rigor, sempre acompanhados de exemplos ilustrativos, de aplicações motivadoras e de adequado enquadramento histórico.
Como trabalho de casa os alunos deverão resolver vários exercícios.
A participação ativa dos alunos nas aulas deve ser fortemente incentivada.
Resultados de Aprendizagem
Este curso pretende ser uma introdução às principais ideias e métodos da teoria das categorias, tão importantes na matemática dos nossos dias, e algumas das suas aplicações. Tendo-se tornado uma ferramenta indispensável para a investigação em álgebra, topologia, lógica ou ciências da computação, para nomear apenas algumas áreas, a familiarização com técnicas básicas e métodos de raciocínio desta teoria é o principal objetivo. As principais competências a desenvolver são: a capacidade de generalização e de abstração; capacidade de formular e resolver problemas; conceção, análise e utilização dos métodos da teoria das categorias; espírito crítico.
Estágio(s)
NãoPrograma
Parte I: Introdução à Teoria das Categorias:
Categorias, functores e transformações naturais. Isomorfismos e equivalência de categorias. Construção de novas categorias: subcategorias, produto de categorias e categorias duais. Princípio da dualidade categorial. Limites e colimites. Categorias de functores. Functores representáveis. Lema de Yoneda e imersão de Yoneda. Adjunção e limites. Existência de adjuntos (Teorema de Freyd).
Parte II: Inclui tópicos da lista seguinte, escolhidos de acordo com os
interesses dos alunos:
Mónadas e categorias de álgebras de Eilenberg-Moore.
Categorias cartesianas fechadas. Topos.
Locales.
Categorias regulares e exatas. Categorias aditivas, abelianas, semi-abelianas e homológicas.
Docente(s) responsável(eis)
Maria Manuel Pinto Lopes Ribeiro Clementino
Métodos de Avaliação
Avaliação
Participação presencial: 15.0%
Resolução de problemas: 25.0%
Exame: 60.0%
Bibliografia
S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1998.
F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra, Vols 1-3, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.