Categorias em Álgebra e Topologia

Conhecimentos de Base Recomendados

Álgebra Linear, Álgebra e Topologia.

Métodos de Ensino

Os conceitos e resultados teóricos mais relevantes são apresentados com pormenor e rigor, sempre acompanhados de exemplos ilustrativos,  de aplicações motivadoras e de adequado enquadramento histórico.

Como trabalho de casa os alunos deverão resolver vários exercícios.

A participação ativa dos alunos nas aulas deve ser fortemente incentivada.

Resultados de Aprendizagem

Este curso pretende ser uma introdução às principais ideias e métodos da  teoria das categorias, tão importantes  na matemática dos nossos dias, e algumas das suas aplicações. Tendo-se tornado uma ferramenta indispensável para a investigação em álgebra, topologia, lógica ou ciências da computação, para nomear apenas algumas áreas, a familiarização  com técnicas básicas e métodos de raciocínio desta teoria é o principal objetivo. As principais competências a desenvolver são: a capacidade de generalização e de abstração; capacidade de formular e resolver problemas; conceção, análise e utilização dos métodos da teoria das categorias; espírito crítico. 

Estágio(s)

Não

Programa

Parte I: Introdução à Teoria das Categorias:

Categorias, functores e transformações naturais. Isomorfismos e  equivalência de categorias. Construção de novas categorias: subcategorias, produto de categorias e categorias duais. Princípio da dualidade categorial. Limites e colimites. Categorias de functores. Functores representáveis. Lema de Yoneda e imersão de Yoneda. Adjunção e limites. Existência de adjuntos (Teorema de Freyd).

Parte II: Inclui tópicos da lista seguinte, escolhidos de acordo com os

interesses dos alunos:

Mónadas e categorias de álgebras de Eilenberg-Moore.

Categorias cartesianas fechadas. Topos.

Locales.

Categorias regulares e exatas. Categorias aditivas, abelianas, semi-abelianas e homológicas.

Docente(s) responsável(eis)

Maria Manuel Pinto Lopes Ribeiro Clementino

Métodos de Avaliação

Avaliação
Participação presencial: 15.0%
Resolução de problemas: 25.0%
Exame: 60.0%

Bibliografia

S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1998.

F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra, Vols 1-3, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.