Álgebra Linear Numérica

Conhecimentos de Base Recomendados

Álgebra Linear e Análise Numérica.

Métodos de Ensino

Aulas teóricas com apresentação detalhada dos assuntos, destacando a forte interacção entre os conceitos teóricos e sua aplicação prática.

Resultados de Aprendizagem

Este curso pretende dar uma visão geral da álgebra linear numérica e descrever as principais noções teóricas e algoritmos usados na resolução de sistemas lineares, problemas de mínimos quadrados ou problemas de valores próprios. Também serão abordadas as questão de estabilidade e precisão e alguns problemas que surgem na computação de alto desempenho.

As principais competências a desenvolver são: capacidade de análise e síntese; competência em comunicação oral e escrita; competência para resolver problemas; competência em trabalho num contexto internacional; competência em aprendizagem autónoma; adaptabilidade a novas situações; criatividade; competência em investigar; espírito crítico. 

Estágio(s)

Não

Programa

Introdução. Decomposições matriciais. Condicionamento e estabilidade. Aritmética de vírgula flutuante. Análise de erros.

Sistemas de equações. Eliminação de Gauss com escolha de "pivot". Fatorização de Cholesky. Análise de estabilidade. Sistemas de grandes dimensões. Técnicas de matrizes esparsas. Métodos iterativos baseados em subespaços de Krylov: método do Gradiente Conjugado, método GMRES, métodos de biortogonalização (BiCG e BICGstab). Convergência e propriedades espectrais. Precondicionamento.

Valores próprios de problemas de grande dimensão. Redução a formas Hessenberg ou tridiagonais. Quociente de Rayleigh e iteração inversa. Algoritmo QR. Métodos de Lanczos (caso simétrico) e de Arnoldi (caso não simétrico). 

Métodos de Avaliação

Avaliação
Frequência: 20.0%
Resolução de problemas: 20.0%
Exame: 20.0%
Trabalho de síntese: 20.0%
Trabalho de investigação: 20.0%

Bibliografia

J.W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.

J.J. Dongarra, I.S. Du, D.C Sorensen, and H.A Van der Vorst, Numerical Linear Algebra for High-Performance Computers, SIAM, 1998.

G.H. Golub and C.F. Van Loan, Matrix Computations, John Hopkins University Press, 2013.

N.J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM, 2002.

C.D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.

L.N. Trefethen and D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.