Variedades Diferenciáveis

Conhecimentos de Base Recomendados

Cálculo de funções de várias variáveis, elementos de topologia geral.

Métodos de Ensino

As aulas têm caráter expositório, cabendo ao docente a escolha do meio mais adequado para o efeito e a margem de intervenção dos estudantes. Como parte integrante da aprendizagem, poderá ser recomendada ou exigida a resolução de exercícios, trabalhos escritos ou apresentações orais.

Resultados de Aprendizagem

A unidade curricular tem por objetivo proporcionar conhecimentos gerais sobre Variedades Diferenciáveis a um nível avançado. Pretende-se que o estudante fique familiarizado com as principais técnicas desta área da Matemática, ou pelo menos com familiaridade suficiente com várias delas para poder posteriormente adquirir por si outras que lhe venham a ser úteis.

Estágio(s)

Não

Programa

Variedades diferenciáveis: estrutura local, subvariedades, Teorema de Sard, transversalidade, campos de vetores e fluxos. Noção de fibrado, fibrados tangente e cotangente de uma variedade. Derivada de Lie de campos de vectores. Álgebras de Lie. Grupos de Lie (clássicos). Espaços homogéneos. Formas diferenciais, derivada exterior. Formas simpléticas. Integração em variedades.  Teorema de Stokes.

Pode ainda ser abordados um ou mais dos seguintes tópicos adicionais:

- Variedades de riemannianas. Curvatura. Espaços simétricos. Exemplos clássicos.

- Cohomology de Rham, cohomology singular e teorema de Rham.

- Grau de uma aplicação. Índice de um campo de vectores. Aplicações.

- Distribuições. Teoremas de Frobenius e Stefan- Sussmann.

Docente(s) responsável(eis)

Raquel Susana Giraldes Caseiro

Métodos de Avaliação

Avaliação
Frequência: 33.0%
Exame: 67.0%

Bibliografia

D. Barden and C. Thomas, An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press, London, 2003.

J. Lafontaine, An Introduction to Differential Manifolds, Springer, 2015.

M.W. Hirsch, Differential Topology, Corrected reprint of the 1976 original, Graduate Texts in Mathematics, vol. 33,   Springer-Verlag, New York, 1994.

J.M. Lee, Riemannian manifolds: An introduction to Curvature, Graduate Texts in Mathematics, vol. 176, Springer-Verlag, New York, 1997.

J. W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Based on notes by David W. Weaver, Revised reprint of the 1965 original, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.