Probabilidades e Processos Estocásticos

Ano
1
Ano lectivo
2020-2021
Código
03001234
Área Científica
Matemática
Língua de Ensino
Inglês
Modo de Ensino
Presencial
Duração
Semestral
Créditos ECTS
9.0
Tipo
Opcional
Nível
3º Ciclo - Doutoramento

Conhecimentos de Base Recomendados

O aluno deve estar familiarizado com a Análise Real e Integração de Lebesgue.

Métodos de Ensino

As aulas têm caráter expositório, cabendo ao docente a escolha do meio mais adequado para o efeito e a margem de intervenção dos estudantes. Como parte integrante da aprendizagem, poderá ser recomendada ou exigida a resolução de exercícios, trabalhos escritos (porventura com uma componente computacional) ou apresentações orais.

Resultados de Aprendizagem

A unidade curricular tem por objetivo proporcionar conhecimentos gerais sobre Probabilidades e Processos Estocásticos a um nível avançado. Pretende-se que o estudante fique familiarizado com as principais técnicas desta área da Matemática, ou pelo menos com familiaridade suficiente com várias delas para poder posteriormente adquirir por si outras que lhe venham a ser úteis.

Estágio(s)

Não

Programa

1 Preliminares

1.1 Espaços de probabilidade

1.2 Integração

1.3 Continuidade absoluta

1.4 Noções de convergência e Teorema de Slutsky 

2 Variáveis aleatórias e processos estocásticos

2.1 Distribuições e representação de Skhorokhod

2.2 Teorema da existência de Kolmogorov

2.3 Independência

2.4 Lemas de Borel-Cantelli 

2.5 Lei 0-1 de Kolmogorv

2.4 Esperança condicional 

3 Martingalas

3.1 Definições e propriedades

3.2  Tempos de paragem e desigualdades

3.3  Teorema de convergência das (sub)martingalas

3.4 Teorema do limite central

3.5 * Aplicação a processos estacionários mistos (a aproximação de Gordin) 

4 Movimento Browniano

4.1 Continuidade de caminhos e sua irregularidade

4.2 Propriedade forte de Markov e princípio da reflexão

4.3 Imersão de Skorohod 

5 Convergência fraca

5.1 Teorema de Portmanteau 

5.2  Teorema de de Prokhorov

5.3 Convergência fraca em C [0,1]

5.4 Teorema de Donsker e princípio da Invariância

Docente(s) responsável(eis)

Margarida Maria Araújo Brito

Métodos de Avaliação

Avaliação 1
Frequência: 40.0%
Exame: 60.0%

Avaliação 2
Frequência: 50.0%
Exame: 50.0%

Bibliografia

P. Billingsley, Probability and Measure, 3rd edition, John Wiley & Sons Inc., New York, 1995.

P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, 2nd edition, John Wiley & Sons Inc., New York, 1999.

J.F.C. Kingman and S.J. Taylor, Introduction to Measure and Probability, Cambridge University Press, London, 1966.

D.W. Stroock, Probability theory, an analytic view, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

S.R.S. Varadhan, Probability theory, Courant Lecture Notes in Mathematics, vol. 7, New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

S.R.S. Varadhan. Stochastic Processes, Courant Lecture Notes in Mathematics, vol. 16, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.