Análise Funcional

Conhecimentos de Base Recomendados

Álgebra Linear, Cálculo, Análise Matemática, Análise Complexa e Análise de Fourier.

Métodos de Ensino

As aulas têm caráter expositório, cabendo ao docente a escolha do meio mais adequado para o efeito e a margem de intervenção dos estudantes. Como parte integrante da aprendizagem, poderá ser recomendada ou exigida a resolução de exercícios, trabalhos escritos ou apresentações orais.

Resultados de Aprendizagem

A unidade curricular tem por objetivo proporcionar conhecimentos gerais sobre Análise Funcional e Teoria da Medida a um nível avançado. Pretende-se que o estudante fique familiarizado com as principais técnicas desta área da Matemática, ou pelo menos com familiaridade suficiente com várias delas para poder posteriormente adquirir por si outras que lhe venham a ser úteis.

Estágio(s)

Não

Programa

Espaços métricos completos. Teorema do ponto fixo. Teorema das bolas encaixadas. Teorema de Baire. Compacidade: definições equivalentes. Teorema de Arzela-Ascoli. Espaços normados e aplicações lineares: Espaços de Banach. Espaços de aplicações lineares contínuas. Espaço dual. Adjunta. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Lei do paralelogramo. Ortogonalização. Espaços de Hilbert. Séries de Fourier. Desigualdade de Bessel. Igualdade de Parseval. Teorema de Riesz-Fisher. Teorema de Hahn-Banach. Função de Minkowski. Teoremas de separação. Forma geral de funcionais lineares: funcionais nos espaços de sucessões; em espaços de Hilbert. Reflexibilidade. Teorema de Riesz. Convergência fraca num espaço normado e no seu dual. Teorema de Banach-Steinhaus. Compacidade no espaço dual. Espaços vectoriais topológicos: Teorema de Kolmogorov. Topologias fracas. Teorema de Banach de aplicação inversa. Aplicações compactas simétricas: Teorema de Hilbert. Teoria de Fredholm. 

Docente(s) responsável(eis)

José Carlos Soares Petronilho

Métodos de Avaliação

Avaliação
Exame: 100.0%

Bibliografia

A.N. Kolmogorov and S.V. Fomin, Elementos da Teoria das Funções e de Análise Funcional, Mir, Moscou, 1982.

J-P. Aubin and I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1984.