Topologia e Análise Linear

Ano
3
Ano lectivo
2019-2020
Código
01001302
Área Científica
Matemática
Língua de Ensino
Português
Modo de Ensino
Presencial
Duração
Semestral
Créditos ECTS
6.0
Tipo
Opcional
Nível
1º Ciclo - Licenciatura

Conhecimentos de Base Recomendados

Álgebra Linear e Geometria Analítica I, II; Análise Infinitesimal I, II, III.

Métodos de Ensino

As aulas são de tipo teórico-prático, essencialmente expositiva com exemplos e exercícios que permitam compreender e aplicar os conhecimentos adquiridos. É dado realce ao ensino de processos de raciocínio, a partir dos quais o aluno aprenda a manipular os objetos apresentados e a descobrir, por si próprio, como chegar a outros resultados, quer através da leitura autónoma, quer através da resolução de exercícios. Ao longo do semestre é disponibilizado aos alunos apoio tutorial à resolução das tarefas propostas.

Resultados de Aprendizagem

Introdução de diversos conceitos abstratos nas áreas de Topologia e de Análise. Desenvolvimento da capacidade de abstração e de argumentação. Ligação entre várias estruturas axiomáticas. Estudo das propriedades topológicas mais importantes e a sua utilização para obter resultados fundamentais de Análise Linear.

Estágio(s)

Não

Programa

I. Topologia

Espaços métricos versus funções contínuas: definição e exemplos; abertos.

Espaços topológicos: definição e exemplos; funções contínuas, homeomorfismos; bases, vizinhanças, interior, fecho e fronteira; subespaços e produtos; espaços de Hausdorff.

Espaços conexos: definição, exemplos e propriedades gerais; componentes conexas; espaços conexos por arcos.

Espaços compactos: definição, exemplos e propriedades gerais. Espaços métricos compactos.

Espaços métricos completos: sucessões de Cauchy; espaços completos; espaços compactos versus espaços completos; compacidade em Rn.

II. Análise Linear

Espaços normados e operadores lineares limitados: definição e exemplos; espaços normados de dimensão finita; espaços duais; teoremas fundamentais (de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, da aplicação aberta, do gráfico fechado).

Espaços com produto interno: conjuntos ortonormados; projeção ortogonal; desigualdade de Bessel e fórmulas de Parseval; Teorema da Representação de Riesz.

Docente(s) responsável(eis)

João Filipe Cortez Rodrigues Queiró

Métodos de Avaliação

Avaliação
Exame (100%) ou Mini-Testes ( 75%) + Resolução de Problemas (25%): 100.0%

Bibliografia

W.A. Sutherland, Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford, 2002.

 

B. Bollobás, Linear Analysis, An Introductory Course, Cambridge University Press, 1999