Corpos e Equações Algébricas

Conhecimentos de Base Recomendados

Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II, Grupos e Simetrias

Métodos de Ensino

As aulas são essencialmente expositivas mas os alunos são interpelados frequentemente para responderem a pequenas questões que se colocam no âmbito das demonstrações. Antes da apresentação de alguns tópicos mais técnicos, dá-se uma visão panorâmica de como eles vão ser interligados. Sempre que possível, são introduzidos exemplos ou exercícios que permitam aplicar os conhecimentos adquiridos.

O processo de aprendizagem inclui ainda períodos de atendimento aos alunos, ao longo do semestre, durante os quais estes são individualmente esclarecidos

Resultados de Aprendizagem

Pretende-se transmitir conhecimentos históricos e técnicos sobre o desenvolvimento da álgebra e, mais particularmente, acerca das tentativas de resolução de equações algébricas. É também objetivo da unidade curricular sensibilizar os estudantes para a beleza e elegância de uma teoria matemática através da compreensão do papel de estruturas abstratas. Ao completar a unidade curricular, o estudante deve ter desenvolvido alguma facilidade na resolução de problemas algébricos, ter adquirido capacidades de abstração, ser capaz de desenvolver raciocínios bem fundamentados e escrever de forma legível e clara enunciados e demonstrações

Estágio(s)

Não

Programa

Breve resenha histórica sobre a procura de soluções de equações algébricas e as reiteradas extensões do conceito de número: o teorema fundamental da álgebra, as equações do terceiro e quarto graus, os contributos de Lagrange, Ruffini, Abel e Galois.

Extensões de corpos. Aplicações: o corpo dos números construtíveis; insolubilidade dos problemas clássicos,  construtibilidade do 17-gono regular.

O teorema fundamental da teoria de Galois. O 'splitting field' de uma família de polinómios. O grupo de Galois de um polinómio. Alguns resultados sobre separabilidade, extensões cíclicas e ciclotómicas e radicais. Aplicações: resolubilidade de equações polinomiais por radicais.

Docente(s) responsável(eis)

Jorge Manuel Senos da Fonseca Picado

Métodos de Avaliação

Avaliação
exame final (90%) + Resolução de Problemas(10%) ou Frequência (70%) +Mini-testes (30%) + Resolução de Problemas (10%): 100.0%

Bibliografia

I. Stewart, Galois Theory,  Chapman and Hall, 2004.

 

I. Stewart, Why Beauty is Truth: a history of symmetry, Basic Books, 2007.

 

J. Fauvel (ed.) :  History of Mathematics, Histories of Problems, Ch.XII, IREM comission, 1997.

 

T. Hungerford, Algebra, GTM 73, Springer 1974.

 

How science can inform the classroom: Teachers need a trusted source to tell fads and fallacies from proved methods,

Scientific American,  September, 2012.