Curvas e Superfícies

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Infinitesimal III; Álgebra Linear e Geometria Analítica II.

Métodos de Ensino

Aulas de carácter misto, onde se ensinam os conceitos fundamentais praticando sobre casos concretos, ilustrados com os aspetos históricos motivadores da sua génese. Dedica-se um espaço substancial à resolução de problemas por parte dos alunos, onde se encoraja o trabalho individual e a discussão em grupo, e à exploração dos recursos tecnológicos existentes (software, internet) para visualização de curvas e superfícies e suas aplicações (v., por exemplo, os módulos sobre curvatura e torção em www.atractor.pt/mat/curvtor e conchas marinhas em www.mat.uc.pt/~picado/conchas, ou os módulos em www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/praticas.html).

Resultados de Aprendizagem

Conhecimento dos aspetos teóricos e práticos fundamentais (incluindo demonstração de teoremas, resolução de problemas e aplicações relevantes) em tópicos da geometria diferencial clássica de curvas e superfícies no espaço tridimensional.

Estágio(s)

Não

Programa

(1) Curvas em R3: Curvas regulares. Comprimento de arco e parametrização por comprimento de arco. Curvatura e torção. Triedro de Frenet-Serret. Fórmulas de Frenet-Serret. Curvas não parametrizadas por comprimento de arco: curvatura e torção, triedro de Frenet-Serret e fórmulas de Frenet-Serret. Propriedades das curvas planas. Teorema fundamental de existência e unicidade para curvas. Exemplos e aplicações.

(2) Superfícies em R3: Superfícies regulares. Classes especiais de superfícies (quádricas, superfícies de revolução, cilindros e cones generalizados, superfícies regradas). Espaço vetorial tangente e plano tangente. Normais. Orientabilidade. Primeira forma fundamental. Isometrias, funções equiareais e conformais. Aplicação ao cálculo de áreas, comprimentos e ângulos. Segunda forma fundamental. Curvaturas principais, gaussiana e média de uma superfície num ponto. Pontos elípticos, hiperbólicos, parabólicos e planares.

Docente(s) responsável(eis)

Jorge Manuel Senos da Fonseca Picado

Métodos de Avaliação

Contínua
Resolução de problemas : 10.0%
Mini testes : 20.0%
Exame: 70.0%

Bibliografia

CARMO, Manfredo P. do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall.

O'NEILL, Barrett (1997). Elementary differential geometry. 2ª Ed. Academic Press.

PRESSLEY, Andrew (2001). Elementary differential geometry. Springer.