Análise Infinitesimal IV

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Infinitesimal II, III, Álgebra Linear e Geometria Analítica I, II.

Métodos de Ensino

Aulas teórico-práticas com intervenção activa dos alunos, podendo incluir a apresentação de exercícios resolvidos fora das horas de contacto.

O trabalho do estudante é continuamente observado e avaliado. O estudante tem acesso aos resultados das diferentes avaliações e é encorajado a analisar o seu progresso em reuniões individuais com o professor.  

Resultados de Aprendizagem

O principal objetivo da unidade é desenvolver um primeiro contato com o cálculo integral de funções definidas em Rn, culminando no estabelecimento dos quatro teoremas fundamentais: o teorema central do cálculo do integral curvilíneo, o Teorema de Riemann-Green, o Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss. O curso é estruturado de modo a representar um compromisso entre uma abordagem teórica rigorosa e um constante recurso à intuição e às potencialidades de aplicação dos resultados estabelecidos. Será usado software gráfico (por exemplo MATHEMATICA) para complementar a abordagem teórica e desenvolver a capacidade de visualização.

As principais competências de carácter genérico, a desenvolver, incluem: capacidade de cálculo; conhecimento de resultados matemáticos; capacidade de generalização e abstração; capacidade de formular e resolver problemas; expressões escrita e oral rigorosas e claras; capacidade de aprendizagem autónoma.

Estágio(s)

Não

Programa

1. Medida de Jordan em Rn.

2. Integral Duplo. Conceito. Propriedades. Teorema de Fubini. Teorema da média. Cálculo de áreas e volumes. Área de uma superfície. Cálculo do integral duplo em coordenadas polares.

3. Integral triplo. Conceito. Propriedades. Fórmula de cálculo. Integral triplo em coordenadas cilíndricas e esféricas. Aplicações.Generalização do conceito de integral a Rn.

4.  Integral curvilíneo de uma função vectorial. Conceito e propriedades. Fórmula de cálculo. Trabalho físico. Integral curvilíneo de uma função escalar. Campos conservativos. Independência do caminho. Teorema de Riemann-Green. Condição necessária e suficiente para que um campo seja conservativo. Generalizações do Teorema de Riemann-Green.

5. Mudança de variável no integral duplo.

6. Integral de superfície. Teorema de Stokes. Fluxo.

7. Teorema de Gauss.

8. O teorema de Gauss e as leis de conservação.

Docente(s) responsável(eis)

Júlio Severino das Neves

Métodos de Avaliação

Avaliação continua
Mini Testes: 20.0%
Frequência: 80.0%

Avaliação final
Exame: 100.0%

Bibliografia

J. E. Marsden, Elementary Classical Analysis. Freeman, NY, 1974.

J. E. Marsden, Calculus III. 2nd edition. Springer, NY, 1991.

M. P.  Serra Oliveira, C. Oliveira, Análise Infinitesimal IV, Notas de Curso, 2008.