Equações Diferenciais e Modelação

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Infinitesimal I e II, Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II.

Métodos de Ensino

Nas aulas teórico-práticas são apresentados (de forma usualmente expositiva) os aspectos teóricos mais relevantes das matérias a tratar, bem como apresentados exemplos relevantes envolvendo cada um dos diferentes assuntos tratados. As matérias tratadas devem ser apresentadas com pormenor e rigor, acompanhadas de forte motivação e adequado enquadramento histórico. Nas aulas práticas os estudantes devem resolver exercícios propostos (com diferentes graus de dificuldade), bem como ser confrontados com problemas do mundo real, no âmbito das aplicações das equações diferenciais. A participação activa dos estudantes, bem como o espírito crítico, devem ser fortemente incentivados, devendo os estudantes estar conscientes do trabalho pessoal que isto implica. Os docentes devem, ainda, incentivar fortemente os estudantes a frequentar os seus “horários de atendimento” nos gabinetes, não apenas para esclarecimento de dúvidas das matérias tratadas, mas também pela possibilidade de discussão, num ambiente menos formal do que o da sala de aulas, de matérias contidas ou não nos programas, relacionadas com aplicações das equações diferenciais.

Resultados de Aprendizagem

O objetivo da disciplina é o estudo sistemático de equações diferenciais ordinárias (EDO), bem como de sistemas de EDO, tendo em vista não apenas o estudo teórico de tais equações, mas também a modelação matemática de situações reais. Assim, é feita a descrição, análise e interpretação, em contextos de situações reais, de modelos matemáticos contínuos a partir de situações simples, procurando-se que os estudantes sejam capazes de chegar às equações diferenciais do modelo associado à situação concreta em estudo. O estudo teórico das EDO deve ser acompanhado de forte motivação a partir de exemplos concretos oriundos da Física, da Química, da Economia, da Biologia e das Ciências Sociais, entre outros, estando assim presente um traço interdisciplinar e uma forte componente de modelação. É também objectivo da disciplina procurar que os estudantes façam a síntese entre disciplinas prévias da licenciatura, nomeadamente, as disciplinas de Análise Infinitesimal e Álgebra Linear e Geometria Analítica.

Estágio(s)

Não

Programa

I- Equações diferenciais e modelação matemática:

Noções básicas, construção de modelos, validação de modelos, dos exemplos clássicos aos problemas em aberto.

II- Equações de primeira ordem:

Equação linear, equação de variáveis separáveis, o problema de Cauchy e questões de existência e unicidade de soluções, métodos numéricos (método de Euler), construção e análise de modelos de situações reais (e.g., crescimento populacional, problemas de datação, absorção de drogas e/ou medicamentos).

III- Equações lineares de ordem n:

Definição e classificação, o problema de Cauchy e questões de existência e unicidade de soluções, equações homogéneas, sistemas fundamentais de soluções para equações lineares homogéneas de coeficientes constantes, método da variação das constantes arbitrárias, método do polinómio anulador, construção e análise de modelos de situações reais (e.g., problemas de movimento, circuitos eléctricos).

IV- Sistemas de equações lineares de primeira ordem:

Definições básicas, forma matricial, introdução de alguns conceitos da teoria das matrizes (exponencial matricial, vectores próprios generalizados), teorema de existência e unicidade, sistemas homogéneos, determinação de sistemas fundamentais de soluções para sistemas homogéneos com coeficientes constantes, o método da variação das constantes arbitrárias, construção e análise de modelos de situações reais (e.g., modelação no casamento ou problemas de relações humanas).

V- Teoria qualitativa bidimensional:

Motivação: modelos predador/presa, definições básicas: soluções de equilíbrio, estabilidade, instabilidade e estabilidade assimptótica, o caso linear, o caso não linear (linearização), o plano de fase, órbitas e retratos de fase, construção e análise de modelos de situações reais (e.g., modelos predador/presa, modelos de cooperação, modelos de competição).

Docente(s) responsável(eis)

Maria de Fátima da Silva Leite

Bibliografia

BRAUN, M. (1993). Differential equations and their applications. (4ªed.). Springer Verlag.

 

BURGHES, D.; MORRIE, B. (1981). Modeling with differential equations. John Wiley & Sons.

 

ZILL, D.G. (2003). Equações diferenciais com aplicação em modelagem. Thomson.

SIMMONS, G. (1991). Differential Equations with Applications and Historical Notes. McGraw Hill.

FIGUEIREDO, D.; NEVES, A. (2010). Equações Diferenciais Aplicadas. R. Janeiro, IMPA.

LEITE, F.; PETRONILHO, J. Notas de equações diferenciais e modelação (em construção).