Teoria dos Grupos

Conhecimentos de Base Recomendados

Conhecimentos de grupos obtidos num primeiro curso de Álgebra a nível de licenciatura. 

Métodos de Ensino

O processo de ensino aprendizagem seguirá um processo interativo no qual os estudantes deverão aplicar a teoria aprendida na resolução de exercícios com diversos graus de dificuldade.

Resultados de Aprendizagem

O principal objetivo desta unidade é proporcionar aos estudantes os conhecimentos sobre teoria de grupos finitos, necessários à investigação em álgebra computacional. Em particular, vamos estudar grupos solúveis simples, grupos nilpotentes, as propriedades báscias dos p-grupos, e trataremos algumas classes de grupos finitos simples. Paralelamente trataremos os conceitos fundamentais da teoria dos grupos de permutações.

Ao terminar esta UC o estudante deverá ser capaz de:
1. Apreciar a importância da teoria dos grupos finitos no quadro geral da álgebra.
2. Identificar as classes mais importantes de grupos finitos. Deve ainda ter um conhecimento profundo sobre a estrutura dos grupos mais importantes, nomeadamente grupo simétrico e alterno, e grupos clássicos.
Aplicar as técnicas da teoria de grupos à resolução de problemas em aneis, semigrupos, laços, e teoria de Galois.

Estágio(s)

Não

Programa

1. As mais conhecidas séries de subgrupos.
2. Grupos solúveis e nilpotentes.
3. Propriedades dos grupos nilpotentes e dos p-grupos finitos.
4. Algumas classes de grupos simples, nomeadamente grupos alternos e os grupos clássicos projetivos.
5. Grupos de permutações: grupos transitivos, primitivos e imprimitivos. Exemplos de grupos primitivos (como os grupos afins) e exemplos de construções em grupos (como o grupo gerado pelos automorfismos de um grupo e as translações direitas, produto em coroa, etc.). Neste capítulo serão tratadas várias das classes de grupos primitivos que aparecem (numa das versões) do Teorema de O’Nan-Scott.

Métodos de Avaliação

Avaliação
Exame: 30.0%
Resolução de problemas: 35.0%
Trabalho de investigação: 35.0%

Bibliografia

Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Springer 1995.

Peter Cameron, Permutation Groups, CUP,  1999.

John Dixon and Brian Mortimer, Permutation Groups, Springer 1996.

Donald E. Taylor, The Geometry of the Classical Groups, Heldermann Verlag 1992.