Teoria da Representação

Conhecimentos de Base Recomendados

Familiaridade com os conceitos e objetos básicos da álgebra: álgebra linear e multilinear, grupos e anéis. 

Métodos de Ensino

As aulas têm caráter expositório, cabendo ao docente a escolha do meio mais adequado para o efeito e a margem de intervenção dos estudantes. Como parte integrante da aprendizagem, poderá ser recomendada ou exigida a resolução de exercícios, trabalhos escritos ou apresentações orais.

Resultados de Aprendizagem

A unidade curricular tem por objetivo proporcionar conhecimentos sobre Teoria da Representação a um nível avançado. Pretende-se que o estudante fique familiarizado com as principais técnicas desta área da Álgebra, ou pelo menos com familiaridade suficiente com várias delas para poder posteriormente adquirir por si outras que lhe venham a ser úteis.

Estágio(s)

Não

Programa

De uma forma geral, a teoria da representação estuda simetria em espaços lineares.”[Etingof et al.].

A teoria de representação tem aplicações na teoria de grupos,combinatória,teoria de números,probabilidade,geometria e física.O programa varia anualmente.Os seguintes tópicos opcionais cobrem os aspetos principais da teoria:

1.Álgebras associativas,quivers e álgebras de caminho,representações irredutíveis e indecomponíveis,álgebras semisimples, Jordan-Holder,Krull-Schmidt,álgebras de dimensão finita;

2.Quivers:Representações indecomponíveis de tipo A1,A2,A3,D4. Sistemas de raízes sem multiplicidade,Teorema de Gabriel;

3.Grupos e álgebras de Lie:Classificação das álgebras de Lie semisimples de dimensão finita.Álgebras envolventes quânticas.;

4.Grupos finitos:Teorema de Maschke,caracteres,Teorema de Burnside, representações induzidas, fórmula de Mackey, reciprocidade de Frobenius;

5.Grupo simétrico e geral linear,dualidade de Schur-Weyl,1ºTeorema Fundamental da teoria de invariantes.

Docente(s) responsável(eis)

Mohammadhossein Shahzamaniancichani

Métodos de Avaliação

Avaliação
Trabalho de síntese: 20.0%
Exame: 40.0%
Resolução de problemas: 40.0%

Bibliografia

I. M. Isaacs, Character theory of finite groups. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006.

C.W. Curtis and I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006.

C.W, Curtis and Irving Reiner, Methods of representation theory - with applications to finite groups and orders, vol 1, John Wiley & Sons, New York, 1990.

G. James and M. Liebeck, Representations and characters of groups, 2nd edition, Cambridge University Press, New York, 2001.

I. Assem, D. Simson, and A. Skowronski, Elements of representation theory of associative algebras, vol 1: Techniques of representation theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

W. Fulton and J. Harris, Representation Theory: A First Course, Graduate texts in mathematics, vol. 129, Springer-Verlag, New York, 1991.

J.P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, Graduate texts in mathematics, vol. 42, Springer-Verlag, New York, 1977.

K. Erdmann and M.J. Wildon, Introduction to Lie algebras, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag, London, 2006.

P. Etingof, O. Golberg, S. Hensel, T. Liu, A. Schwendner, D. Vaintrob, and E. Yudovina, Introduction to Representation Theory, Student Mathematical Library, vol. 59, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.

J.E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 9,  Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978.