Teoria da Aproximação Construtiva

Conhecimentos de Base Recomendados

Cursos básicos de Análise Funcional e Análise Complexa.

Métodos de Ensino

As aulas são de natureza teórica, ou seja, de natureza essencialmente expositiva e acompanhadas de exemplos que permitam compreender e aplicar os conhecimentos adquiridos. São focadas no ensino de processos de raciocínio, a partir dos quais o aluno aprenda a manipular os objetos que lhe são apresentados e a descobrir, por si próprio, como chegar a outros resultados, através da leitura autónoma e da resolução de exercícios. Ao longo do semestre deverá ser disponibilizado aos alunos apoio tutorial para acompanhamento das tarefas propostas para realizar fora das aulas.

 

Resultados de Aprendizagem

O objectivo do curso é apresentar a teoria da aproximação, considerando alguns dos seus múltiplos aspectos e desenvolvimentos recentes. Na abordagem aos diversos temas tratados estará presente um traço interdisciplinar associado a esta teoria. Em particular serão consideradas algumas das suas aplicações, nomeadamente em domínios do conhecimento tais como a teoria da aproximação, a teoria dos números, ou a física matemática, entre outros. Será ainda feita a descrição de problemas em aberto no âmbito da teoria desenvolvida. Esta unidade curricular permite desenvolver as seguintes competências: conhecimento de resultados matemáticos; capacidade de generalização e abstracção; argumentação lógica; competência em utilizar ferramentas computacionais. A nível pessoal permite também desenvolver capacidades de aprendizagem autónoma e de espírito crítico.

Estágio(s)

Não

Programa

Neste curso serão exploradas três áreas afins no âmbito da Teoria da Aproximação: Polinómios Ortogonais, Funções Especiais e Espaços de Funções. Os tópicos específicos a estudar incluem polinómios ortogonais, funções especiais (transformada de Mellin) e espaços de funções (interpolação e imersões).

Docente(s) responsável(eis)

José Carlos Soares Petronilho

Métodos de Avaliação

Avaliação 1
Exame: 100.0%

Avaliação 2
Frequência: 100.0%

Bibliografia

B. Simon, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle, Parts 1 & 2, American Mathematical Society, 2004.

E. Stein, Singular Integral and Differentiability properties of Functions, Princeton University Press, 1979.

H. Triebel, Theory of Function Spaces, Birkhauser (reprint of 1st ed.), 1983.

S. Yakubovich and Yu. Luchko, Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions, Ser. Mathematics and its Applications, vol. 287, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1994.

W. Ziemer, Weakly Differentiable Functions. Sobolev Spaces and Functions of Bounded Variation, Springer-Verlag, 1989.

G.E. Andrews, R. Askey,  and R. Roy, Special Functions, Cambridge University Press, 1999.

C. Bennett and R. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, 1988

P. Deift, Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann-Hilbert Approach, Courant Lecture Notes, no. 3. American Mathematical Society, 2000.

R.A. DeVore and G.G. Lorentz: Constructive Approximation, Springer-Verlag, 1993.

M.E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005.

E.M. Nikishin and V.N. Sorokin, Rational Approximations and Orthogonality, vol. 92, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, 1991.