Álgebra Comutativa

Conhecimentos de Base Recomendados

Disciplinas básicas de Álgebra Linear, Teoria dos Grupos e Teoria dos Anéis e Corpos.

Métodos de Ensino

O ensino é ministrado em sessões teórico-práticas. As aulas são expositivas e incluem exemplos e exercícios de aplicação dos conhecimentos adquiridos. Os conceitos são antecedidos por exemplificação  ou  discussão com uma definição abstrata, seguida das consequências e aplicações ao concreto. É dado realce à resolução de problemas por parte dos alunos, onde se encoraja o trabalho e a discussão em grupo.

Ao longo do semestre os alunos dispõem de um tempo de orientação tutorial para esclarecimento de questões.

Resultados de Aprendizagem

Introdução a conceitos abstratos da teoria dos anéis comutativos e da teoria dos módulos. Desenvolvimento da capacidade de abstração e de argumentação. Reconhecimento de estruturas fundamentais da Matemática, conhecimento da sua origem e sua utilização no concreto. Estudo das propriedades mais importantes relacionadas com os conceitos de ideais e módulos, e sua aplicação à geometria.

Esta unidade curricular permite desenvolver as seguintes competências instrumentais: capacidade de generalização e abstração; capacidade de formular e resolver problemas; argumentação lógica; expressões escrita e oral rigorosas e claras; iniciativa individual; capacidade de trabalho em equipa; capacidade de aprendizagem autónoma; imaginação e criatividade; espírito crítico; capacidade de comunicação.

Estágio(s)

Não

Programa

Anéis: Ideais, ideais principais e ideais primos (revisitados); anéis de ideais principais; divisibilidade e fatorização prima; domínios de fatorização única e domínios euclidianos; teoremas do isomorfismo para anéis.

Módulos: módulos sobre anéis, independência linear; módulos sobre domínios de integridade; aplicações a grupos e matrizes; condições de cadeia, anéis e módulos nœtherianos; teorema da base de Hilbert.

(Tópicos Avançados)

Poderão ainda ser tratados alguns tópicos avançados da teoria dos Anéis e módulos comutativos, a escolher da seguinte lista de possibilidades: produtos tensoriais, o conceito de variedade algébrica; fatorização de ideais; ideais maximais e o Lema de Nakayama; o Teorema dos Zeros de Hilbert; decomposição de uma variedade numa união de variedades irredutíveis.

Docente(s) responsável(eis)

Alexander Kovacec

Métodos de Avaliação

Avaliação
Há 2 modalidades de avaliação: a) ao longo do semestre - pressupõe a realização de uma frequência (com peso total de 60-75%) e a resolução de dois testes (com peso de 40-25%); b) por exame final - consiste na realização de um exame com um peso de 100%. : 100.0%

Bibliografia

R. L. Fernandes, M. Ricou, Introdução à Àlgebra, IST Press, 2004.

 

M. Atiyah, I. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Add. Wesley, 1969.

 

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Math. Soc. Student Texts 12, Cambridge University Press, 1998-2001.