Análise Real e Funcional

Conhecimentos de Base Recomendados

Disciplinas básicas de Análise Infinitesimal; Topologia e Análise Linear.

Métodos de Ensino

As aulas são de tipo teórico-prático, ou seja, de natureza essencialmente expositiva e acompanhadas de exemplos e exercícios que permitam compreender e aplicar os conhecimentos adquiridos. Deve haver momentos reservados à apresentação de exercícios mais elaborados ou construções mais detalhadas de exemplos concretos. As aulas são focadas no ensino de processos de raciocínio, a partir dos quais o aluno aprenda a manipular os objetos que lhe são apresentados e a descobrir, por si próprio, como chegar a outros resultados, quer através da leitura autónoma, quer através da resolução de exercícios.

Resultados de Aprendizagem

O objetivo principal do curso é introduzir os conceitos fundamentais de Teoria da Medida e de Análise Funcional, incluindo o integral de Lebesgue e os espaços L^p, assim como os principais resultados relativos a patologias fracas e à teoria dos operadores (especialmente no contexto dos operadores compactos em espaços de Hilbert). Deve ser destacada a importância dos resultados apresentados em diferentes contextos de aplicação da Matemática, em particular, no âmbito das Equações com Derivadas Parciais e da Teoria da Aproximação.

Esta unidade curricular permite desenvolver as seguintes competências instrumentais: conhecimento de resultados matemáticos, capacidade de generalização e abstração, argumentação lógica, expressões escrita e oral rigorosas e claras, e capacidade de cálculo. A nível pessoal permite também desenvolver capacidades de aprendizagem autónoma e espírito crítico.

Estágio(s)

Não

Programa

Medidas e funções mensuráveis. O integral de Lebesgue. Teoremas fundamentais: lemma de Fatou e teoremas da convergência monótona, da convergência dominada e de Fubini. Diferenciação de medidas de Radon. Teorema de Radon-Nikodym e teorema da decomposição de Lebesgue. Teorema da representação de Riesz.

Teoremas de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, da aplicação aberta e do gráfico fechado (revisão e complementos).

Topologias fracas. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos, separáveis e uniformemente convexos.

Espaços L^p: reflexividade, separabilidade e dualidade; convolução e regularização.

Espaços de Hilbert: projeções; dualidade; teoremas de Stampacchia e de Lax-Milgram.

Operadores compactos: teoria de Riesz-Fredholm; espetro; decomposição espetral dos operadores auto-adjuntos compactos.

Docente(s) responsável(eis)

Júlio Severino das Neves

Métodos de Avaliação

Avaliação final
Exame: 100.0%

Avaliação continua
Inclui a realização de uma ou mais frequências ao longo do semestre (com um peso total de 75-100%) e a apresentação de trabalhos, podendo incluir demonstrações de resultados mais elaborados ou a resolução de trabalhos de casa propostos ao longo do semestre (com peso não superior a 25): 100.0%

Bibliografia

H. Brézis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011(H. Brézis, Analyse Fonctionnelle, Masson, 1983).

L.C. Evans, R. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, 1992.

P. Fernandéz, Medida e Integração, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1976 (Projeto Euclides, nº2).

P.D. Lax, Functional Analysis, John Wiley and Sons, 2002.

M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. Volume I: Functional Analysis, Academic Press, 1980.

L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, terceira edição, 1998.