Processos e Cálculo Estocástico

Conhecimentos de Base Recomendados

Conhecimentos básicos de Probabilidades; experiência na utilização de software científico.

Métodos de Ensino

O ensino é ministrado em sessões teórico-práticas, baseadas num texto de apoio. As aulas são essencialmente expositivas e incluem exemplos de aplicação da matéria leccionada.

É fornecido aos alunos um diversificado conjunto de exercícios que propicia a apreensão e a consolidação dos conhecimentos. Além disso, os alunos desenvolvem, durante o semestre, um trabalho prático que envolve a simulação de trajetórias de alguns modelos estudados.

Semanalmente, é disponibilizado um tempo de orientação tutorial por forma a auxiliar os alunos a ultrapassarem as suas eventuais dificuldades. 

Resultados de Aprendizagem

Um dos objetivos desta unidade é fornecer os fundamentos teóricos e os instrumentos matemáticos essenciais ao estudo de processos estocásticos e ilustrar a sua utilização na análise de fenómenos aleatórios que evoluem com o tempo. São dadas a conhecer as principais classes de processos estocásticos com aplicação nas várias áreas da ciência, da tecnologia e, em particular, das finanças. A introdução ao cálculo estocástico, com a apresentação de conceitos e técnicas básicas sobre integração estocástica e equações diferenciais estocásticas, é outro objetivo da unidade.

Esta unidade permite desenvolver as seguintes competências instrumentais: capacidade de cálculo; utilização de ferramentas computacionais; conhecimento de resultados matemáticos; generalização e abstração; formulação e resolução de problemas e conceção ou utilização de modelos matemáticos em situações reais. A nível pessoal permite desenvolver a iniciativa individual, o trabalho em equipa, a aprendizagem autónoma. 

Estágio(s)

Não

Programa

Revisão de distribuições condicionadas e esperança condicionada.

Introdução aos processos estocásticos-motivação e definição; processos gaussianos, fraca e fortemente estacionários, de acréscimos independentes e estacionários, de Markov, martingalas; exemplos clássicos: passeio aleatório, processos de Poisson, processo de Wiener e movimento browniano geométrico.

Cadeias de Markov a tempo discreto – probabilidades de transição, equações de Chapman-Kolmogorov; classificação dos estados; absorção; comportamento assintótico.

Cadeias de Markov a tempo contínuo – funções de probabilidade de transição, gerador infinitesimal; equações diferenciais de Kolmogorov; tempos de espera nos estados; cadeia embebida; comportamento assintótico; processos de nascimento e morte.

Noções básicas de cálculo estocástico – integral de Riemann-Stieltjes e funções de variação limitada; integral de Itô; processo de Itô e diferenciais estocásticos; as equações de Black-Scholes e de Langevin; teorema de Girsanov.

Docente(s) responsável(eis)

Ana Cristina Martins Rosa

Métodos de Avaliação

Avaliação final
A avaliação por exame final inclui a realização de um exame escrito (com peso 85%) e de um trabalho computacional sujeito às mesmas regras. : 100.0%

Avaliação continua
A avaliação contínua pressupõe a realização de 3 pequenos testes, 1 frequência (com peso total de 85%) e de um trabalho computacional, elaborado individualmente ou em grupos de 2 alunos (com peso de 15%).: 100.0%

Bibliografia

R. Durrett, Essentials of Stochastic Processes, Springer-Verlag, 1999.

D. Foata, A. Fuchs, Processus Stochastiques, segunda edição, Dunod, 2004.

G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker, Probability and Random Processes, terceira edição, Clarendon Press, Oxford Science Publications, 2001.

S. Karlin, H.M. Taylor, A First Course in Stochastic Processes, Academic Press, 1975.

S. Karlin, H.M. Taylor, An Introduction to Stochastic Modeling, terceira edição, Academic Press, 1998.

H. Kuo, Introduction to Stochastic Integration, Springer-Verlag, 2006.

T. Mikosch, Elementary Stochastic Calculus, Advanced Series on Statistical Science and Applied Probability, Vol.6, World Scientific, 2006.

D. Muller, Processos Estocásticos e Aplicações, Almedina, 2007.

R. Serfozo, Basics of Applied Stochastic Processes, Springer-Verlag, 2009.