Processos e Cálculo Estocástico

Conhecimentos de Base Recomendados

Probabilidades.

Métodos de Ensino

O ensino é ministrado em sessões teórico-práticas. As aulas são essencialmente expositivas e incluem exemplos de aplicação da matéria lecionada. É fornecido aos alunos um diversificado conjunto de exercícios que propicia a apreensão e a consolidação dos conhecimentos. Semanalmente, é disponibilizado um tempo de orientação tutorial por forma a auxiliar os alunos a ultrapassarem as suas eventuais dificuldades.

Resultados de Aprendizagem

Um dos objetivos desta unidade é fornecer os fundamentos teóricos e os instrumentos matemáticos essenciais ao estudo de processos estocásticos e ilustrar a sua utilização na análise de fenómenos aleatórios que evoluem com o tempo. São dadas a conhecer as principais classes de processos estocásticos com aplicação nas várias áreas da ciência, da tecnologia e, em particular, das finanças. A introdução ao cálculo estocástico, com a apresentação de conceitos e técnicas básicas sobre integração estocástica e equações diferenciais estocásticas, é outro objetivo da unidade. Esta unidade permite desenvolver as seguintes competências instrumentais: capacidade de cálculo; utilização de ferramentas computacionais; conhecimento de resultados matemáticos; generalização e abstração; formulação e resolução de problemas e conceção ou utilização de modelos matemáticos em situações reais.

Estágio(s)

Não

Programa

Esperança condicional: definição e principais propriedades. Introdução ao processos estocásticos: o conceito de processo estocástico e exemplos; o processo de Poisson homogéneo; vetores e processos gaussianos; o processo de Wiener; processos estacionários; processos de acréscimos independentes/estacionários; martingalas. Cadeias de Markov a tempo discreto: probabilidades de transição; equações de Chapman-Kolmogorov; classificação dos estados; probabilidade de absorção; comportamento assintótico; leis dos grandes números. Cadeias de Markov a tempo contínuo: equações de Chapman- Kolmogorov; equações diferenciais de Kolmogorov; gerador infinitesimal; complementos sobre o processo de Poisson; processos de nascimento e morte; comportamento assintótico; teoremas limite. Elementos de cálculo estocástico: o integral de Riemann-Stieltjes; o integral estocástico de Itô; o processo integral de Itô; a fórmula de Itô; aplicações da fórmula de Itô.

Docente(s) responsável(eis)

Carlos Manuel Rebelo Tenreiro da Cruz

Métodos de Avaliação

Avaliação contínua
Frequência: 100.0%

Avaliação final
Exame: 100.0%

Bibliografia

Durrett, R., Essentials of stochastic processes, New York: Springer-Verlag, 2016.

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Kuo, H-H., Introduction to stochastic integration, New York: Springer, 2006.

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Parzen, E., Stochastic processes, Philadelphia: SIAM, 1999.

Resnick, S.I., Adventures in stochastic processes, Boston: Birkhauser, 2002.

Sericola, B., Markov chains: theory, algorithms and applications, London: ISTE; Hoboken: Wiley, 2013.