Curvas e Superfícies

Matemática 7.5 ECTS 1º Ciclo - Licenciatura

Ano
2

Ano lectivo
2026-2027

Código
01025084

Área Científica
Matemática

Língua de Ensino
Português

Modo de Ensino
Presencial

Duração
Semestral

Créditos ECTS
7.5

Tipo
Obrigatória

Nível
1º Ciclo - Licenciatura

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Infinitesimal III, Álgebra Linear e Geometria Analítica II.

Métodos de Ensino

Aulas de caráter misto, onde se ensinam os conceitos fundamentais praticando sobre casos concretos, ilustrados com os aspetos históricos motivadores da sua génese. Dedica-se um espaço substancial à resolução de problemas por parte dos alunos, onde se encoraja o trabalho individual e a discussão em grupo, bem como a exploração dos recursos tecnológicos existentes (software, internet) para visualização de curvas e superfícies e suas aplicações.

Resultados de Aprendizagem

Conhecimento dos aspetos teóricos e práticos fundamentais (incluindo demonstração de teoremas, resolução de problemas e aplicações relevantes) em tópicos da geometria diferencial clássica de curvas e superfícies no espaço tridimensional. As principais competências a desenvolver são: capacidade de formular e resolver problemas; conceção ou utilização de modelos matemáticos para situações reais; capacidade de cálculo; capacidade de aprendizagem autónoma; argumentação lógica; espírito crítico; expressões escrita e oral rigorosas e claras; capacidade de comunicação; uso da internet como meio de comunicação e fonte de informação.

Estágio(s)

Não

Programa

1. Curvas em ℝ3. Curvas regulares. Comprimento de arco e parametrização por comprimento de arco.

Curvatura e torção. Triedro de Frenet-Serret. Fórmulas de Frenet-Serret. Curvas não parametrizadas por comprimento de arco: curvatura e torção, triedro de Frenet-Serret e fórmulas de Frenet-Serret. Propriedades das curvas planas. Teorema fundamental de existência e unicidade para curvas. Exemplos e aplicações.

2. Superfícies em ℝ3. Superfícies regulares. Classes especiais de superfícies: quádricas, superfícies de revolução, cilindros e cones generalizados, superfícies regradas. Espaço vetorial tangente e plano tangente.

Normais. Orientabilidade. Primeira forma fundamental. Isometrias, funções equiareais e conformais. Aplicação ao cálculo de áreas, comprimentos e ângulos. Segunda forma fundamental. Curvaturas principais, gaussiana e média de uma superfície num ponto. Pontos elíticos, hiperbólicos, parabólicos e planares.

Docente(s) responsável(eis)

Jorge Manuel Senos da Fonseca Picado

Métodos de Avaliação

Avaliação final
Exame: 100.0%

Avaliação contínua
Mini Testes: 20.0%
Frequência: 80.0%

Bibliografia

J. Picado, Apontamentos de Geometria Diferencial, Notas de curso, Universidade de Coimbra, 2012.

Thomas F. Banchoff, Stephen Lovett, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 3rd edition, Chapman & Hall, 2024.

Paulo Ventura Araújo, Differential Geometry, Springer, 2024

A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2nd edition, Springer, 2010.

B. O'Neill, Elementary differential geometry, 2nd ed., Academic Press, 1997.

M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976.