Corpos e Equações Algébricas

Conhecimentos de Base Recomendados

Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II, Grupos e Simetrias.

Métodos de Ensino

O ensino é ministrado em sessões teórico-práticas. As aulas são expositivas e incluem exemplos e exercícios de aplicação dos conhecimentos adquiridos. Os conceitos são antecedidos por exemplificação ou discussão com uma definição abstrata, seguida das consequências e aplicações ao concreto. É dado realce à resolução de problemas por parte dos alunos, onde se encoraja o trabalho e a discussão em grupo. Ao longo do semestre os alunos dispõem de um tempo de orientação tutorial para esclarecimento de questões.

Resultados de Aprendizagem

Após completar esta unidade curricular, o estudante:

i) saberá trabalhar com anéis e homomorfismos;

ii) saberá efetuar a divisão de polinómios com coeficientes num corpo;

iii) conhecerá o lema de Gauss e o critério de irredutibilidade de Eisenstein;

iv) saberá calcular o grau de uma extensão simples gerada por um elemento algébrico;

v) saberá calcular o grau de uma extensão usando o teorema da torre;

vi) saberá caracterizar uma extensão de decomposição de um polinómio;

vii) saberá calcular a ordem do grupo de Galois de uma extensão de decomposição;

viii) conhecerá o teorema fundamental da correspondência de Galois.

Estágio(s)

Não

Programa

Anéis: axiomática; homomorfismos; ideais e quocientes; anel de polinómios e suas propriedades; irredutibilidade de polinómios. Extensões de corpos: extensões finitas; simples e geradas; teorema da torre; construções impossíveis com régua e compasso. Correspondência de Galois: grupo de Galois; extensões de decomposição; corpo fixo de um subgrupo; teorema fundamental.

Docente(s) responsável(eis)

Jorge Manuel Sentieiro Neves

Métodos de Avaliação

Avaliação contínua
Mini Testes: 20.0%
Frequência: 80.0%

Avaliação final
Exame: 100.0%

Bibliografia

Brison, O. J., Teoria de Galois, 3ª Edição, Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa, 1999.

Fernandes, R. L.; Ricou, M., Introdução à Álgebra. 4ª ed. IST Press, 2025. ISBN: 9789728469276.

Howie, J. M. Fields and Galois theory, London: Springer, 2006. ISBN: 9781852339869.

Jones, A., Morris, S. A., Pearson, K. R., Abstract algebra and famous impossibilities. Springer, 2022. ISBN 9783031056987.

Stewart, I., Galois theory, 4th ed., Boca Raton, FL: CRC Press, 2015.