Análise Infinitesimal IV

Conhecimentos de Base Recomendados

Análise Infinitesimal II, III, Álgebra Linear e Geometria Analítica I, II.

Métodos de Ensino

Aulas teórico-práticas com intervenção ativa dos alunos, podendo incluir a apresentação de exercícios resolvidos fora das horas de contacto. O trabalho do estudante é continuamente observado e avaliado. O estudante tem acesso aos resultados das diferentes avaliações e é encorajado a analisar o seu progresso em reuniões individuais com o professor.

Resultados de Aprendizagem

O principal objetivo da unidade é estabelecer um primeiro contato com o cálculo integral de funções definidas em ℝn, culminando na discussão de quatro teoremas fundamentais: o teorema central do cálculo do integral curvilíneo, o Teorema de Green-Riemann, o Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss. O curso está estruturado de modo a representar um compromisso entre uma abordagem teórica rigorosa e um constante recurso à intuição e às aplicação dos resultados estabelecidos. Será usado software gráfico (por exemplo MATHEMATICA, Geogebra) para complementar a abordagem teórica e desenvolver a capacidade de visualização. Como principais competências de carácter genérico, a desenvolver, temos: capacidade de cálculo; conhecimento de resultados matemáticos; capacidade de generalização e abstração; capacidade de formular e resolver problemas; expressões escrita e oral rigorosas e claras; capacidade de aprendizagem autónoma.

Estágio(s)

Não

Programa

1. Medida/Conteúdo de Jordan em ℝn.

2. Integral Duplo. Conceito. Propriedades. Teorema de Fubini. Teorema da média. Cálculo de áreas e volumes. Área de uma superfície. Cálculo do integral duplo em coordenadas polares.

3. Integral triplo. Conceito. Propriedades. Fórmula de cálculo. Integral triplo em coordenadas cilíndricas e esféricas. Aplicações. Generalização do conceito de integral a ℝn.

4. Integral curvilíneo de uma função vetorial. Conceito e propriedades. Fórmula de cálculo. Trabalho físico. Integral curvilíneo de uma função escalar. Campos conservativos. Independência do caminho. Teorema de Riemann-Green. Condição necessária e suficiente para que um campo seja conservativo. Generalizações do Teorema de Riemann-Green.

5. Mudança de variável no integral duplo.

6. Integral de superfície. Teorema de Stokes. Fluxo.

7. Teorema de Gauss.

8. O teorema de Gauss e as leis de conservação.

Docente(s) responsável(eis)

Amílcar José Pinto Lopes Branquinho

Métodos de Avaliação

Avaliação final
Exame: 100.0%

Avaliação contínua
Mini Testes: 20.0%
Frequência: 80.0%

Bibliografia

D. J. Garling, A Course in Mathematical Analysis: Vol. 2, Metric and Topological Spaces, Functions of a Vector Variable, Cambridge Univ. Press, 2014.
N. Jacob, K. P. Evans, A Course In Analysi, Vol. II: Differentiation And Integration Of Functions Of Several Variables, Vector Calculus, World Sci. Pub. Co., 2016.
E. L. Lima, Análise Real: Funções de n Variáveis, Vol. 2, IMPA, 2006.
E. L. Lima, Análise Real: Análise Vetorial, Vol. 3, C. Mat. Univ., SBM, 2007.
J. E. Marsden, Elementary Classical Analysis, Freeman, NY, 1974.
J. E. Marsden, Calculus III, 2nd ed., Springer, NY, 1991.
M. P. Serra Oliveira, C. Oliveira, Análise Infinitesimal IV, Notas de Curso, 2008.
Z. Nitecki, Calculus in 3D. Geometry, vectors, and multivariate calculus. Providence, RI: MAA Press, AMS, 2018.
J. S. Petrovic, Advanced calculus. Theory and practice. 2nd edition. Boca Raton, FL: CRC Press, 2020.
M. E. Taylor, Introduction to analysis in several variables. Advanced calculus. Providence, RI: AMS, 2020.