Corpos e Equações Algébricas

Conhecimentos de Base Recomendados

Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II.

Grupos e simetrias.

Métodos de Ensino

Aulas de carácter misto, onde se ensinam as ideias e estruturas fundamentais praticando sobre casos concretos, ilustradas com os aspetos históricos motivadores da sua génese e com aplicações relevantes. Dedica-se um espaço substancial à resolução de problemas por parte dos alunos, onde se encoraja o trabalho individual e a discussão em grupo.

Resultados de Aprendizagem

Conhecimento dos aspetos teóricos e práticos fundamentais das teorias de Galois e dos corpos finitos, incluindo demonstração de teoremas, resolução de problemas e aplicações relevantes (como a resolução de problemas clássicos sobre as construções com régua e compasso, a resolução de equações através de radicais e diversas aplicações modernas da teoria dos corpos finitos à teoria dos códigos).

Estágio(s)

Não

Programa

1. Anéis e corpos.

2. Anéis de polinómios. Factorização: algoritmo da divisão, polinómios irredutíveis, Teorema de Gauss da factorização única.

3. Extensões de corpos. Aplicações: construções com régua e compasso, construção de polígonos regulares. Teoria de Galois. Resultados básicos. Aplicações: resolubilidade de equações polinomiais por radicais.

4. Corpos finitos. Propriedades fundamentais. Teorema da classificação (de Galois). Aplicações: teoria algébrica dos códigos.

Docente(s) responsável(eis)

Jorge Manuel Senos da Fonseca Picado

Métodos de Avaliação

Contínua
Resolução de problemas : 10.0%
Mini testes : 20.0%
Exame: 70.0%

Bibliografia

FERNANDES, R. L. e RICOU, M. (2004). Introdução à Álgebra. IST Press.

LIDL, R. e Niederreiter, H. (2000). Introduction to Finite Fields and their Applications. Cambridge University Press.

STEWART, I. (1973). Galois Theory. Chapman & Hall. (3a ed. 2004).